SPM 2016 Matematik (Kertas Ramalan)

Bahagian B
(48 markah)
Jawab mana-mana empat soalan dalam bahagian ini.

15.  Anda tidak dibenarkan menggunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
(a)       Rajah  8  menunjukkan  sebuah  pepejal  berbentuk  prisma  tegak  dengan  tapak segiempat  tepat  EFGH  terletak  di atas  meja  mengufuk. Permukaan EFRJKL ialah  keratan  rentas seragamnya. Segiempat  tepat  KLMN  dan  JPQR ialah satah  mengufuk dan segiempat tepat  JKNP  ialah satah condong. Tepi RF dan  LE adalah tegak .

Rajah  10.1

Lukiskan dengan skala penuh, dongakan  pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan EF sebagaimana dilihat dari X.
[3 markah]     

(b)   Sebuah pepejal berbentuk kuboid dikeluarkan daripada pepejal dalam Rajah 10.1. Pepejal  yang tinggal adalah seperti dalam Rajah 10.2. Segiempat tepat TUVW  ialah satah  mengufuk. Tepi JT dan BW adalah sisi tegak. UF = 4 cm dan UV = 3 cm.


Rajah  10.2

Lukiskan dengan skala penuh,           
(i)     pelan pepejal yang tinggal itu.                                                   
 [4 markah]
(ii) dongakan pepejal yang tinggal  itu pada satah mencancang yang selari dengan FG sebagaimana dilihat dari Y.    
[5 markah]

Jawapan dan penyelesaian:
(a)

(b)(i)

(b)(ii)


SPM 2016 Matematik (Kertas Ramalan)

Bahagian B
(48 markah)
Jawab mana-mana empat soalan dalam bahagian ini.

16.  Jadual 3 menunjukkan latitud dan longitud empat titik F, G, H dan I, di permukaan bumi.
Titik
Latitud
Longitud
F
60° U
30° B
G
x° S
30° B
H
60° U
y° T
I
25° S
y° T
Jadual 3

(a)    J ialah titik di permukaan bumi dengan keadaan FJ ialah diameter bumi. Nyatakan kedudukan J.                                                                                                          [2 markah]

(b)   Hitungkan
(i)     nilai x, jika jarak dari F ke G diukur sepanjang meridian ialah 5 400 batu nautika,
(ii)   nilai y, jika jarak dari F arah ke timur H diukur sepanjang selarian latitud sepunya ialah 2 100 batu nautika,                                                                                                            
[7 markah]

(c)       Sebuah kapal terbang berlepas dari F arah ke timur ke H mengikut selarian latitud punya dan kemudian terbang arah ke selatan ke I. Jika purata laju seluruh penerbangan ialah 460 knot, hitungkan masa yang diambil untuk seluruh penerbangan itu.

[3 markah]
Jawapan dan penyelesaian:
(a)
Kedudukan J = (60° S, 180° – 30° T)
                = (60° S, 150° T)

(b)(i)
Perbezaan latitud di antara F dan G
= 5400 60
= 90°
Latitud G
= 90° – 60°
= 30° S
x = 30

(b)(ii)
Perbezaan longitud di antara F dan H
= 2100 60 × cos 60 o  
= 70°
Latitud G
= 70° – 30°
= 40° T
y = 40

(c)
Jarak HI
= (60 + 25) × 60
= 5 100 batu nautika

Jarak seluruh penerbangan
= 2 100 + 5 100
= 7 200 batu nautika

Masa diambil untuk seluruh penerbangan
= 7200 460
= 15.65 jam

Bab 13 Hukum Linear

13 Ulangkaji Konsep Penting (Garis Lurus)
(A)      Persamaan Garis lurus

                                 Rajah 1


Persamaan dalam bentuk kecerunan
y = mx + c
m = kecerunan
c = pintasan-y




(B)      Kecerunan Garis Lurus
                              Rajah 2

Dalam rajah 2, kecerunan garis lurus, m, melalui titik A (x1, yl) dan titik B (x2, y2) ialah
m= y 2 y 1 x 2 x 1

(C) Titik Tengah Garis lurus
Dalam rajah 2, titik tengah , M bagi titik A(xl, y1) dan titik B(x2, y2) ialah
M=( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 )

(D) Jarak antara Dua Titik atas Garis Lurus
Dalam rajah 2, jarak antara titik A dan titik B
= ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2    


Bab 1 Fungsi

          1.2.2    Fungsi

(C) Domain, Kodomain, Objek, Imej, dan Julat bagi Suatu Fungsi
Contoh 3:
Gambar rajah anak panah di atas mewakili satu fungsi f : x → 2 x2 – 5. Nyatakan
(a)    domain,
(b)   julat,
(c)    imej bagi –2,
(d)   objek bagi,
            (i)     –3,
            (ii)   –5.

Penyelesaian:
(a)    Domain = {–2, –1, 0, 1, 2}.
(b)   Julat = {–5, –3, 3}.
(c)    Imej bagi –2 ialah 3.
(d)   (i) Objek bagi –3 ialah 1 dan –1.
            (ii)   Objek bagi –5 ialah 0.


(D)  Fungsi Nilai Mutlak
1.      Tanda |  | menandakan nilai mutlak bagi suatu nombor. Secara amnya, nilai mutlak bagi nombor x, iaitu | x|, ditakrifkan seperti berikut.

| x |={ x jika x0 x jika x<0  

2.      Ini bermakna tanda bagi suatu nilai mutlak sentiasa positif.
3.      | x | dibaca sebagai modulus bagi x.
4.      Nilai mutlak bagi fungsi f( x) ialah nilai berangka bagi f(x) dan ditandakan sebagai | f(x)|.

| f(x) |={ f(x) jika f(x)0 f(x) jika f(x)<0

Contoh 4:
Diberi fungsi f: x|x + 2|.
(a)    Cari imej bagi –4, –3, 0, dan 2.
(b)   Lakarkan graf bagi f (x) bagi domain –4 ≤ x ≤ 2.
Seterusnya, nyatakan nilai julat f (x) berdasarkan domain yang diberi.

Penyelesaian:
(a)
Diberi f (x) = |x + 2|
Imej bagi –4 ialah f(–4) = | –4 + 2| = | –2| = 2
Imej bagi –3 ialah f(–3) = | –3 + 2| = | –1| = 1
Imej bagi 0 ialah f(0) = | 0 + 2| = | 2 | = 2
Imej bagi 2 ialah f(2) = | 2 + 2| = | 4 | = 4

(b)
Daripada (a),
f(–4) = 2
f(–3) = 1
f(0) = 2
f(2) = 4
Tentukan titik supaya graf menyentuh paksi-x.
Pada paksi-x,f (x) = 0
|x + 2| = 0
x+ 2 = 0
x= –2

Oleh itu, julat bagi nilai f (x) ialah 0 ≤ f(x) ≤ 4.


Bab 1 Fungsi

1.2.1 Fungsi

(A)      Fungsi Sebagai Sejenis Hubungan Khas
1.      Dalam sesuatu fungsi, semua objek dalam domain mesti dipadankan dengan hanya satu unsur dalam kodomain. Tetapi, semua unsur dalam kodomain tidak semestinya dipadankan dengan unsur dalam domain.
2.      Fungsi ialah hubungan khas dengan setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej . Bukan semua hubungan ialah fungsi.
3.      Hubungan satu kepada satu dan hubungan banyak kepada satu ialah fungsi


Contoh:





(B) Tatatanda Fungsi
Dalam tatatanda fungsi, sesuatu fungsi boleh diwakili oleh huruf abjad seperti f, g, hdan sebagainya. Misalnya, fungsi fyang memetakan objek x dalam domain kepada imej y dalam julat doleh ditulis sebagai
f : xy
atau     f(x) = y

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas, fungsi f : XY, setiap unsur x dalam domain Xmempunyai satu imej yang unik dalam kodomain Y.

Contoh 1:
Diberi fungsi f : x → 5x + 1, cari nilai bagi
(a) f (2)
(b) f (–3)
(c) f( 2 5 ) 

Penyelesaian:
(a)
 f (x) = 5x + 1
 f(2) = 5(2) + 1 = 11

(b)
 f (x) = 5x + 1
 f (– 3) = 5(–3) + 1 = –14

(c)
f (x) = 5x + 1
f( 2 5 )=5( 2 5 )+1=3  

Contoh 2:
Suatu fungsi x ditakrifkan sebagai
f:x 5 2x1 ,xk.    
Cari nilai k.

Penyelesaian:
f( x )= 5 2x1 , xk f( x ) tidak tertakrif apabila 2x1=0 oleh itu, 2x10                    2x1                      x 1 2 Maka k= 1 2  


Bab 8 Bulatan III

8.4 SPM Praktis, Bulatan III (Kertas 1)
Soalan 9:
Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan berpusat O , di titik B.
Cari nilai y.

Penyelesaian:
ABO = 90o
BOE = 2 × 40o = 80o
Dalam segi empat AEOB,
AEO= 360 ABO  BOE – 35o
= 360– 90o – 80o – 35o= 155o
yo + AEO = 180
yo + 155o = 180o
yo = 180o  – 155o
y o = 25


Soalan 10:


Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan berpusat O, di titik B.
Nilai x ialah

Penyelesaian:
OBC = 90
BOD = 2 × 50o = 100o
Dalam segi empat BODC,
xo = 360BOD OBC – 120o
= 360– 100o – 90o – 120o
= 50

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 4:
Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x2 – 4x + m= 0 dengan m sebagai pemalar.
(a)  Cari nilai t dan nilai m.
(b)  Seterusnya, bentuk satu persamaan kuadratik dengan punca-punca 4t dan 2t + 6.

Penyelesaian:
(a)
Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x2 – 4x + m= 0
a = 4, b = – 4, c = m
Hasil tambah punca= b a 3t+( t7 )= 4 4  
3t + t– 7 = 1
4t = 8
t = 2

Hasil darab punca= c a 3t( t7 )= m 4  
4 [3(2) (2 – 7)] = m ← (gantikan t = 2)
4 [3(2) (2 – 7)] = m
4 (–30) = m
m = –120

(b)
t = 2
4t = 4(2) = 8
2t + 6 = 2(2) + 6 = 10

Hasil tambah punca = 8 + 10 = 18
Hasil darab punca = 8(10) = 80

Guna rumus, x2– (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0
Oleh itu, persamaan kuadratik ialah
x 2 – 18x + 80 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Jika α dan β ialah punca-punca persamaan kuadratik 3x2 + 2x– 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca yang berikut.
(a)  2 α  dan  2 β (b) ( α+ 2 β ) dan ( β+ 2 α )  


Penyelesaian:
3x2 + 2x – 5 = 0
a = 3, b = 2, c = –5
Punca adalah α dan β.
α+β= b a = 2 3 αβ= c a = 5 3  

(a)
Punca-punca yang baru ialah 2 α dan 2 β . Hasil tambah punca-punca baru = 2 α + 2 β = 2β+2α αβ                  = 2( α+β ) αβ = 2( 2 3 ) 5 3 = 4 5  

Hasil darab punca-punca =( 2 α )( 2 β )= 4 αβ                  = 4 5 3 = 12 5

Guna rumus, x2 – (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0
Persamaan kuadratik yang baru ialah
x 2 ( 4 5 )x+( 12 5 )=0
5x2 – 4x– 12 = 0

(b)
Punca-punca yang baru ialah ( α+ 2 β )dan( β+ 2 α ). Hasil tambah punca-punca baru =( α+ 2 β )+( β+ 2 α )  
=α+β+( 2 α + 2 β )=α+β+ 2α+2β αβ =α+β+ 2( α+β ) αβ = 4 5 + 2( 4 5 ) 12 5 = 4 5 2 3 = 2 15

Hasil darab punca-punca =( α+ 2 β )( β+ 2 α ) =αβ+2+2+ 4 αβ  
= 12 5 +4+ 4 12 5 = 12 5 +4 5 3 = 1 15  

Persamaan kuadratik yang baru ialah
x 2 ( 2 15 )x+( 1 15 )=0
15x2 – 2x– 1 = 0

Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.6 Indeks dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Panjang)
Soalan 3:
Diberi bahawa p= 3r dan q = 3t, ungkapkan yang berikut dalam sebutan rdan/ atau t.
(a)  log 3 p q 2 27 , 
(b)  log9p – log27 q.

Penyelesaian:
(a)
Diberi p = 3r, log3 p = r
q= 3t, log3 q =t

log 3 p q 2 27
= log3 pq2 – log327
= log3 p + log3 q2 – log3 33
= r + 2 log3 q – 3 log3 3
= r + 2 log3 q – 3(1)
= r + 2t – 3

(b)
log9 p– log27 q
= log 3 p log 3 9 log 3 q log 3 27 = r log 3 3 2 t log 3 3 3 = r 2 log 3 3 t 3 log 3 3 = r 2 t 3   



Soalan 4:
(a)  Permudahkan:
log2(2x + 1) – 5 log4 x2 + 4 log2 x
(b)  Seterusnya, selesaikan persamaan:
log2(2x + 1) – 5 log4 x2 + 4 log2 x = 4

Penyelesaian:
(a)
log2 (2x + 1) – 5 log4 x2 + 4 log2 x
= log 2 ( 2x+1 ) 5 log 2 x 2 log 2 4 +4 log 2 x = log 2 ( 2x+1 ) 5 2 log 2 x 2 + log 2 x 4 = log 2 ( 2x+1 ) log 2 ( x 2 ) ( 5 2 ) + log 2 x 4  
= log 2 ( 2x+1 ) log 2 x 5 + log 2 x 4 = log 2 ( 2x+1 )( x 4 ) x 5 = log 2 2x+1 x  

(b)
log2 (2x + 1) – 5 log4 x2 + 4 log2 x = 4
log 2 2x+1 x =4        2x+1 x = 2 4        2x+1 x =16       2x+1=16x          14x=1             x= 1 14


Bab 15 Matriks

4.9 SPM Practis (Kertas 1)
Soalan 5:
Diberi bahawa ( 3   x )( x 1 )=( 18 ),  cari nilai x.

Penyelesaian:
( 3   x )( x 1 )=( 18 )
[3 × x + x (–1)] = (18)
3xx = 18
2x = 18
x = 9


Soalan 6:
( 3 4 2 3 )( 5 2 )= 


Penyelesaian:
( 3 4 2 3 ) ( 5 2 ) = ( ( 3 ) ( 5 ) + ( 4 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 5 ) + ( 3 ) ( 2 ) )                        = ( 15 8 10 6 )                        = ( 7 16 )



Soalan 7:
( 2 4 3 4 0 1 )( 1 3 )=

Penyelesaian:
Peringkat hasil darab dua matriks
=( 3 ×2 )( 2× 1 )=( 3×1 )

( 2 4 3 4 0 1 )( 1 3 )=( 2( 1 )+4( 3 ) ( 3 )( 1 )+0( 3 ) ( 4 )( 1 )+1( 3 ) )                      =( 212 3+0 43 )                      =( 10 3 1 )



Soalan 8:
( 1  1   2 )( 5 1 3 2 0 4 )=

Penyelesaian:
Peringkat hasil darab dua matriks
=( 1 ×3 )( 3× 2 )=( 1×2 )

( 1  1   2 )( 5 1 3 2 0 4 )=
= (1×5 + (–1)(–3) + (2)(2)  1×1 + (–1)(0) + (2)(4))
= (5 + 3 + 4   1 + 0 + 8)
= (12   9)